El sistema binario

El sistema binario

 En ciencias e informática, es un sistema de numeración en el que los números se representan utilizando solamente las cifras cero y uno (0 y 1). Es el que se utiliza en las computadoras, debido a que trabajan internamente con dos niveles de voltaje, por lo cual su sistema de numeración natural es el sistema binario (encendido 1, apagado 0).





ejemplo: el sistema binario puede ser representado solo por dos digitos
Un número binario puede ser representado por cualquier secuencia de bits (dígitos binarios), que suelen representar cualquier mecanismo capaz de usar dos estados mutuamente excluyentes. Las siguientes secuencias de símbolos podrían ser interpretadas como el mismo valor numérico binario:

1 0 1 0 0 1 1 0 1 0

| - | - - | | - | -


y n y n n y y n y n



x o x o o x x o x o

El valor numérico representado en cada caso depende del valor asignado a cada símbolo. En una computadora, los valores numéricos pueden representar dos voltajes diferentes; también pueden indicar polaridades magnéticas sobre un disco magnético. Un "positivo", "sí", o "sobre el estado" no es necesariamente el equivalente al valor numérico de uno; esto depende de la nomenclatura usada.
De acuerdo con la representación más habitual, que es usando números árabes, los números binarios comúnmente son escritos usando los símbolos 0 y 1. Los números binarios se escriben a menudo con subíndices, prefijos o sufijos para indicar su base. Las notaciones siguientes son equivalentes:
  • 100101 binario (declaración explícita de formato)
  • 100101b (un sufijo que indica formato binario)
  • 100101B (un sufijo que indica formato binario)
  • bin 100101 (un prefijo que indica formato binario)
  • 1001012 (un subíndice que indica base 2 (binaria) notación)
  •  %100101 (un prefijo que indica formato binario)
  • 0b100101 (un prefijo que indica formato binario, común en lenguajes de programación)


Conversión entre binario y decimal



Se divide el número del sistema decimal entre 2, cuyo resultado entero se vuelve a dividir entre 2, y así sucesivamente hasta que el dividendo sea menor que el divisor, 2. Es decir, cuando el número a dividir sea 1 finaliza la división.
A continuación se ordenan los restos empezando desde el último al primero, simplemente se colocan en orden inverso a como aparecen en la división, se les da la vuelta. Éste será el número binario que buscamos.

Ejemplo
Transformar el número decimal 131 en binario. El método es muy simple:

131 dividido entre 2 da 65 y el resto es igual a 1
 65 dividido entre 2 da 32 y el resto es igual a 1
 32 dividido entre 2 da 16 y el resto es igual a 0
 16 dividido entre 2 da 8  y el resto es igual a 0                   
  8 dividido entre 2 da 4  y el resto es igual a 0
  4 dividido entre 2 da 2  y el resto es igual a 0
  2 dividido entre 2 da 1  y el resto es igual a 0
  1 dividido entre 2 da 0  y el resto es igual a 1
             -> Ordenamos los restos, del último al primero: 10000011

En sistema binario, 131 se escribe 10000011
Ejemplo
Transformar el número decimal 100 en binario.
Conversion.JPG
Otra forma de conversión consiste en un método parecido a la factorización en números primos. Es relativamente fácil dividir cualquier número entre 2. Este método consiste también en divisiones sucesivas. Dependiendo de si el número es par o impar, colocaremos un cero o un uno en la columna de la derecha. Si es impar, le restaremos uno y seguiremos dividiendo entre dos, hasta llegar a 1. Después sólo nos queda tomar el último resultado de la columna izquierda (que siempre será 1) y todos los de la columna de la derecha y ordenar los dígitos de abajo a arriba.
Ejemplo

100|0

50|0


  --> 1, 25-1=24 y seguimos dividiendo entre 2
 12|0

25|1
 
  6|0
  3|1


(100)_{10} = (1100100)_2  

1|1   -->
Existe un último método denominado de distribución. Consiste en distribuir los unos necesarios entre las potencias sucesivas de 2 de modo que su suma resulte ser el número decimal a convertir. Sea por ejemplo el número 151, para el que se necesitarán las 8 primeras potencias de 2, ya que la siguiente, 28=256, es superior al número a convertir. Se comienza poniendo un 1 en 128, por lo que aún faltarán 23, 151-128 = 23, para llegar al 151. Este valor se conseguirá distribuyendo unos entre las potencias cuya suma dé el resultado buscado y poniendo ceros en el resto. En el ejemplo resultan ser las potencias 4, 2, 1 y 0, esto es, 16, 4, 2 y 1, respectivamente.
Ejemplo

  20=   1|0



  21=   2|0



  22=   4|0



  23=   8|0



  24=  16|0



  25=  32|0



  26=  64|0



  27= 128|1           128=(128)_{10} = (10000000)_2


Decimal (con decimales) a binario


Para transformar un número del sistema decimal al sistema binario:

  1. Se transforma la parte entera a binario. (Si la parte entera es 0 en binario será 0, si la parte entera es 1 en binario será 1, si la parte entera es 5 en binario será 101 y así sucesivamente).
  2. Se sigue con la parte fraccionaria, multiplicando cada número por 2. Si el resultado obtenido es mayor o igual a 1 se anota como un uno (1) binario. Si es menor que 1 se anota como un 0 binario. (Por ejemplo, al multiplicar 0.6 por 2 obtenemos como resultado 1.2 lo cual indica que nuestro resultado es un uno (1) en binario, solo se toma la parte decimal del resultado).
  3. Después de realizar cada multiplicación, se colocan los números obtenidos en el orden de su obtención.
  4. Algunos números se transforman en dígitos periódicos, por ejemplo: el 0.1.


Ejemplo

0,3125 (decimal)   => 0,0101 (binario).

Proceso:
0,3125 · 2 = 0,625 => 0


2 = 0,5   => 0
0,5    ·

0,625  · 2 = 1,25  => 1
0,25   ·
  2 = 1     => 1 


 -> 0,0101 (binario)


En orden: 0101
Ejemplo

0,1 (decimal) => 0,0 0011 0011 ... (binario). 

Proceso: 
0,1 · 2 = 0,2 ==> 0


0,8 ==> 0
0,8 · 2 =

0,2 · 2 = 0,4 ==> 0
0,4 · 2 =
  1,6 ==> 1
0,6 · 2 = 1,2 ==> 1


en las cuatro cifras, periódicamente
0,4 · 2 = 0,8 ==> 0  <-
0,8 · 2

0,2 · 2 = 0,4 ==> 0  <--se repi
t = 1,6 ==> 1  <-
0,6 · 2 = 1,2 ==> 1  <- ...


 (binario periódico)


En orden: 0 0011 0011 ... => 0,0 0011 0011 ..
.
Ejemplo

5.5 = 5,5



5,5 (decimal)   => 101,1 (binario).

Proceso:
5 => 101
0,5 · 2 = 1 => 1


nario) -> 101,1 (binario)


En orden: 1 (un sólo dígito fracci
o
Ejemplo

6,83 (decimal)   => 110,110101000111 (binario).

Proceso:
6 => 110
0,83 · 2 = 1,66 => 1


 0
0,64 · 2 = 1,28 =

0,66 · 2 = 1,32 => 1
0,32 · 2 = 0,64 =
>> 1
0,28 · 2 = 0,56 => 0
0,56 · 2 = 1,12 => 1


· 2 = 0,96 => 0
0,96

0,12 · 2 = 0,24 => 0
0,24 · 2 = 0,48 => 0
0,48
  · 2 = 1,92 => 1
0,92 · 2 = 1,84 => 1
0,84 · 2 = 1,68 => 1



Encadenando parte entera y frac

En orden: 110101000111 (binario)
Parte entera: 110 (binario


)cionaria: 110,110101000111 (binario)

Binario a decimal

Para realizar la conversión de binario a decimal, realice lo siguiente:
  1. Inicie por el lado derecho del número en binario, cada cifra multiplíquela por 2 elevado a la potencia consecutiva (comenzando por la potencia 0, 20).
  2. Después de realizar cada una de las multiplicaciones, sume todas y el número resultante será el equivalente al sistema decimal.
Ejemplos:
  • (Los números de arriba indican la potencia a la que hay que elevar 2)
\overset{5}{\mathop{1}}\,\overset{4}{\mathop{1}}\,\overset{3}{\mathop{0}}\,\overset{2}{\mathop{1}}\,\overset{1}{\mathop{0}}\,\overset{0}{\mathop{1}}\,_{2}=1\cdot 2^{5}+1\cdot 2^{4}+0\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{2}+0\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0}=32+16+0+4+0+1=53
\overset{7}{\mathop{1}}\,\overset{6}{\mathop{0}}\,\overset{5}{\mathop{0}}\,\overset{4}{\mathop{1}}\,\overset{3}{\mathop{0}}\,\overset{2}{\mathop{1}}\,\overset{1}{\mathop{1}}\,\overset{0}{\mathop{1}}\,_{2}=1\cdot 2^{7}+0\cdot 2^{6}+0\cdot 2^{5}+1\cdot 2^{4}+0\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{2}+1\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0}=128+0+0+16+0+4+2+1=151
\overset{5}{\mathop{1}}\,\overset{4}{\mathop{1}}\,\overset{3}{\mathop{0}}\,\overset{2}{\mathop{1}}\,\overset{1}{\mathop{1}}\,\overset{0}{\mathop{1}}\,_{2}=1\cdot 2^{5}+1\cdot 2^{4}+0\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{2}+1\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0}=32+16+0+4+2+1=55
También se puede optar por utilizar los valores que presenta cada posición del número binario a ser transformado, comenzando de derecha a izquierda, y sumando los valores de las posiciones que tienen un 1.
Ejemplo
El número binario 1010010 corresponde en decimal al 82. Se puede representar de la siguiente manera:
\overset{64}{\mathop{1}}\,\overset{32}{\mathop{0}}\,\overset{16}{\mathop{1}}\,\overset{8}{\mathop{0}}\,\overset{4}{\mathop{0}}\,\overset{2}{\mathop{1}}\,\overset{1}{\mathop{0}}\,_{2}
entonces se suman los números 64, 16 y 2:
\overset{64}{\mathop{1}}\,\overset{32}{\mathop{0}}\,\overset{16}{\mathop{1}}\,\overset{8}{\mathop{0}}\,\overset{4}{\mathop{0}}\,\overset{2}{\mathop{1}}\,\overset{1}{\mathop{0}}\,_{2}=64+16+2=82
Para cambiar de binario con decimales a decimal se hace exactamente igual, salvo que la posición cero (en la que el dos es elevado a la cero) es la que está a la izquierda de la coma y se cuenta hacia la derecha a partir de -1:
\begin{align} & \overset{5}{\mathop{1}}\,\overset{4}{\mathop{1}}\,\overset{3}{\mathop{0}}\,\overset{2}{\mathop{1}}\,\overset{1}{\mathop{0}}\,\overset{0}{\mathop{1}}\,,\overset{-1}{\mathop{1}}\,\overset{-2}{\mathop{0}}\,\overset{-3}{\mathop{1}}\,=1\cdot 2^{5}+1\cdot 2^{4}+0\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{2}+0\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0}+1\cdot 2^{-1}+0\cdot 2^{-2}+1\cdot 2^{-3}= \\ & =32+16+0+4+0+1+\frac{1}{2^{1}}+\frac{0}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}=32+16+0+4+0+1+0,5+0+0,125=53,625 \\ \end{align}
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